与えられた4つの命題について、条件が「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「必要条件でも十分条件でもない」のいずれであるかを答える問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題について、条件が「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「必要条件でも十分条件でもない」のいずれであるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x < 1$ は $x \le 1$ であるための条件を考えます。

- $x < 1$ ならば $x \le 1$ は成り立ちます。 (十分条件)

- $x \le 1$ であっても $x < 1$ とは限りません (例えば $x = 1$ の場合)。 (必要条件ではない)

したがって、$x < 1$ は $x \le 1$ であるための十分条件です。

(2) $x < y$ は $x^2 < y^2$ であるための条件を考えます。

- $x < y$ ならば $x^2 < y^2$ とは限りません (例えば $x = -2, y = -1$ の場合、$x < y$ ですが $x^2 = 4 > y^2 = 1$ となります)。 (十分条件ではない)

- $x^2 < y^2$ ならば $x < y$ とも限りません (例えば $x = -2, y = 1$ の場合、$x^2 = 4 > y^2 = 1$ となります)。 (必要条件ではない)

したがって、$x < y$ は $x^2 < y^2$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

(3) $xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための条件を考えます。

$xy + 1 = x + y$を変形すると、$xy - x - y + 1 = 0$となり、$x(y - 1) - (y - 1) = 0$、すなわち$(x - 1)(y - 1) = 0$となります。

- $(x - 1)(y - 1) = 0$ ならば、$x = 1$ または $y = 1$ なので、$x, y$ のうち少なくとも1つは1です。(十分条件)

- $x, y$ のうち少なくとも1つが1ならば、$(x - 1)(y - 1) = 0$が成立します。$xy+1 = x+y$が成立します。(必要条件)

したがって、$xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための必要十分条件です。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A < 90^{\circ}$ は、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための条件を考えます。

- $\angle A < 90^{\circ}$ ならば、$\triangle ABC$ が鋭角三角形とは限りません (例えば $\angle B = 100^{\circ}$ の場合)。(十分条件ではない)

- $\triangle ABC$ が鋭角三角形ならば、すべての内角が $90^{\circ}$ より小さいので、$\angle A < 90^{\circ}$ です。(必要条件)

したがって、$\angle A < 90^{\circ}$ は、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件ですが十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) (ウ)

(2) (エ)

(3) (ア)

(4) (イ)