1から12までの異なる整数が書かれた12枚のカードが入った箱から、同時に4枚のカードを取り出す。 (1) 4枚のカードの取り出し方の総数を求める。 (2) 4枚のカードに書かれた整数の和が奇数となる場合の数を求める。 (3) 4枚のカードに書かれた整数を小さい順にa, b, c, dとするとき、b=5となる場合の数と、a=3またはd>=11となる場合の数を求める。

1. 問題の内容

1から12までの異なる整数が書かれた12枚のカードが入った箱から、同時に4枚のカードを取り出す。

(1) 4枚のカードの取り出し方の総数を求める。

(2) 4枚のカードに書かれた整数の和が奇数となる場合の数を求める。

(3) 4枚のカードに書かれた整数を小さい順にa, b, c, dとするとき、b=5となる場合の数と、a=3またはd>=11となる場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 4枚のカードの取り出し方の総数

12枚のカードから4枚を取り出す組み合わせの数を求める。これは組み合わせ$_{12}C_4$で計算できる。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

(2) 4枚のカードの和が奇数になる場合

4枚の和が奇数になるのは、(奇数3枚、偶数1枚) または (奇数1枚、偶数3枚) の場合である。

1から12までの整数には、奇数が6枚、偶数が6枚ある。

(奇数3枚、偶数1枚)の場合： $_6C_3 \times _6C_1 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 6 = 20 \times 6 = 120$

(奇数1枚、偶数3枚)の場合： $_6C_1 \times _6C_3 = 6 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 20 = 120$

合計：120 + 120 = 240

(3) b=5となる場合

a<b<c<dであり、b=5なので、aは1,2,3,4のいずれかである。cとdは6,7,...,12のいずれかである。

aの選び方は4通り。cとdの選び方は8枚から2枚選ぶ組み合わせなので、$_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り。

したがって、4 × 28 = 112通り。

(4) a=3またはd>=11となる場合

(i) a=3の場合：

残り3枚は4から12までの9枚から選ぶ。

$_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

(ii) d>=11の場合：

d=11のとき、残りの3枚は1から10までの整数から選ぶ。$_ {10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

d=12のとき、残りの3枚は1から11までの整数から選ぶ。$_ {11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$

(iii) a=3かつd>=11の場合：

a=3, d=11のとき、残りの2枚は4から10までの7枚から選ぶ。$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

a=3, d=12のとき、残りの2枚は4から11までの8枚から選ぶ。$_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(i)+(ii) - (iii)

$84 + 120 + 165 - 21 - 28 = 320$

3. 最終的な答え

(1) 495

(2) 240

(3) 112

(4) 320