白玉が5個、赤玉がn個入っている袋から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉1個、赤玉1個である確率を $p_n$ とする。このとき、$p_n$を求め、$p_n$を最大にするnを求める。ただし、$n \geq 1$とする。

1. 問題の内容

白玉が5個、赤玉がn個入っている袋から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉1個、赤玉1個である確率を $p_n$ とする。このとき、$p_n$を求め、$p_n$を最大にするnを求める。ただし、$n \geq 1$とする。

2. 解き方の手順

(1) $p_n$を求める。

まず、袋の中に入っている玉の総数は $5 + n$ 個である。

2個の玉を取り出す場合の総数は ${}_{5+n}C_2$ 通りである。

白玉1個、赤玉1個を取り出す場合の数は ${}_5C_1 \times {}_nC_1 = 5n$ 通りである。

したがって、$p_n$は次のようになる。

$p_n = \frac{5n}{{}_{5+n}C_2} = \frac{5n}{\frac{(5+n)(4+n)}{2}} = \frac{10n}{(5+n)(4+n)}$

(2) $p_n$を最大にするnを求める。

$p_n$を最大にするnを求めるために、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$ を計算し、それが1より大きいか小さいかを調べる。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{\frac{10(n+1)}{(5+n+1)(4+n+1)}}{\frac{10n}{(5+n)(4+n)}} = \frac{10(n+1)(5+n)(4+n)}{10n(6+n)(5+n)} = \frac{(n+1)(4+n)}{n(6+n)} = \frac{n^2 + 5n + 4}{n^2 + 6n}$

$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ となる条件は $n^2 + 5n + 4 > n^2 + 6n$ より $4 > n$ となる。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$ となる条件は $n^2 + 5n + 4 < n^2 + 6n$ より $4 < n$ となる。

したがって、$n \leq 3$ のとき $p_{n+1} > p_n$ であり、$n \geq 5$ のとき $p_{n+1} < p_n$ である。

$n=4$のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n} = 1$となるので$p_4 = p_5$である。

$p_1 < p_2 < p_3 < p_4 = p_5 > p_6 > p_7 > ...$

$p_n$を最大にするnは4と5である。

3. 最終的な答え

(1) $p_n = \frac{10n}{(5+n)(4+n)}$

(2) $n = 4, 5$