与えられた図において、直線$l$は関数$y = x + 8$のグラフ、直線$m$は関数$y = -2x + 2$のグラフである。 (1) 直線$l$と直線$m$の交点$A$の座標を求める。 (2) 点$A$と、線分$BC$の中点を通る直線の式を求める。ただし、$B$は直線$l$と$x$軸の交点、$C$は直線$m$と$x$軸の交点とする。

1. 問題の内容

与えられた図において、直線$l$は関数$y = x + 8$のグラフ、直線$m$は関数$y = -2x + 2$のグラフである。

(1) 直線$l$と直線$m$の交点$A$の座標を求める。

(2) 点$A$と、線分$BC$の中点を通る直線の式を求める。ただし、$B$は直線$l$と$x$軸の交点、$C$は直線$m$と$x$軸の交点とする。

2. 解き方の手順

(1) 点$A$は直線$l$と直線$m$の交点なので、連立方程式を解くことで座標を求める。

$y = x + 8$

$y = -2x + 2$

これを解くと、

$x + 8 = -2x + 2$

$3x = -6$

$x = -2$

$y = -2 + 8 = 6$

よって、点$A$の座標は$(-2, 6)$となる。

(2) まず、点$B$と点$C$の座標を求める。

点$B$は直線$l$と$x$軸の交点なので、$y = 0$を代入すると、

$0 = x + 8$

$x = -8$

よって、$B$の座標は$(-8, 0)$となる。

点$C$は直線$m$と$x$軸の交点なので、$y = 0$を代入すると、

$0 = -2x + 2$

$2x = 2$

$x = 1$

よって、$C$の座標は$(1, 0)$となる。

線分$BC$の中点を$M$とすると、

$M$の座標は$(\frac{-8 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (-\frac{7}{2}, 0)$となる。

点$A$と点$M$を通る直線の式を$y = ax + b$とすると、

$6 = -2a + b$

$0 = -\frac{7}{2}a + b$

この連立方程式を解く。

$6 = -2a + b$

$b = \frac{7}{2}a$

$6 = -2a + \frac{7}{2}a = \frac{3}{2}a$

$a = 4$

$b = \frac{7}{2} \cdot 4 = 14$

よって、求める直線の方程式は$y = 4x + 14$となる。

3. 最終的な答え

(1) 点$A$の座標: $(-2, 6)$

(2) 直線の方程式: $y = 4x + 14$