数列 $a_n = (-\frac{1}{2})^n$ が与えられたとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n = (-\frac{1}{2})^n$ が与えられたとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この和は、数列 $a_n$ の奇数番目の項の和です。つまり、数列 $b_k = a_{2k-1}$ ($k=1, 2, \dots, n+1$) の和を求めることになります。

まず、$b_k$ を求めます。

$b_k = a_{2k-1} = (-\frac{1}{2})^{2k-1}$

この数列 $b_k$ は等比数列です。初項 $b_1 = a_1 = -\frac{1}{2}$、公比 $r = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ です。項数は $n+1$ です。

等比数列の和の公式 $S_m = \frac{a(1-r^m)}{1-r}$ を使って、和を求めます。ここで、$a = -\frac{1}{2}$, $r = \frac{1}{4}$, $m = n+1$ です。

$S_{n+1} = \frac{-\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{4})^{n+1})}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{-\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{4})^{n+1})}{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} (1 - (\frac{1}{4})^{n+1}) = -\frac{2}{3} (1 - (\frac{1}{4})^{n+1})$

したがって、$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1} = -\frac{2}{3} (1 - (\frac{1}{4})^{n+1})$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3}(1 - (\frac{1}{4})^{n+1})$