この画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。ここでは、以下の4つの問題について解答します。 * 問題10: 男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法は何通りあるか。 * 問題11: 6等分された正六角形の各部分を、異なる6色の絵の具を使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して同じになる場合は同じ塗り方とみなす。 * 問題12: 集合{1, 2, 3, 4, 5, 6}の部分集合の個数を求めよ。 * 問題13: 8人の中から選ばれた5人が円形状に並ぶとき、並び方は何通りあるか。 * 問題14: 色の異なる7個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

この画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。ここでは、以下の4つの問題について解答します。

* 問題10: 男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法は何通りあるか。

* 問題11: 6等分された正六角形の各部分を、異なる6色の絵の具を使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して同じになる場合は同じ塗り方とみなす。

* 問題12: 集合{1, 2, 3, 4, 5, 6}の部分集合の個数を求めよ。

* 問題13: 8人の中から選ばれた5人が円形状に並ぶとき、並び方は何通りあるか。

* 問題14: 色の異なる7個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 問題10:

男女が交互に並ぶので、まず男子を並べるか女子を並べるかという2通りの場合分けがあります。

男子4人の並び方は4!通り、女子4人の並び方は4!通りです。

したがって、並び方は $2 \times 4! \times 4!$ 通りです。

* 問題11:

まず、6つの部分を異なる6色で塗り分ける場合の数は $6!$ 通りです。

ただし、回転によって同じになるものを同一視するので、6で割る必要があります。

したがって、塗り分け方は $6!/6 = 5!$ 通りです。

* 問題12:

集合{1, 2, 3, 4, 5, 6}の要素の数は6です。部分集合の個数は、$2^n$で求められます。ここで、$n$は要素数です。

したがって、部分集合の個数は $2^6$ 個です。

* 問題13:

まず、8人の中から5人を選ぶ組み合わせは $_8C_5$ 通りです。

選ばれた5人が円形状に並ぶ並び方は $(5-1)! = 4!$ 通りです。

したがって、並び方は $_8C_5 \times 4!$ 通りです。$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$

* 問題14:

7個の異なる玉を円形に並べる方法は $(7-1)! = 6!$ 通りです。

しかし、首飾りなので裏返すと同じものとみなします。したがって、2で割る必要があります。

したがって、首飾りの作り方は $6! / 2$ 通りです。

3. 最終的な答え

* 問題10: $2 \times 4! \times 4! = 2 \times 24 \times 24 = 1152$通り

* 問題11: $5! = 120$通り

* 問題12: $2^6 = 64$個

* 問題13: $_8C_5 \times 4! = 56 \times 24 = 1344$通り

* 問題14: $6! / 2 = 720 / 2 = 360$通り