(1) 2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の解を求め、その解の一つを $\omega$ とする。$\omega$ の値を求め、$\omega = -\omega + \sqrt{\Box} i$ であること、$\omega^3$ の値を求め、$\omega^{48}$ と $\omega^{47}$ の値を求める。 (2) $x^{61} + 3x^{48} - 3x^{47}$ を $x^2 - x + 1$ で割ったときの余りを $ax + b$ (a, b は実数) とするとき、a, b の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の解を求め、その解の一つを $\omega$ とする。$\omega$ の値を求め、$\omega = -\omega + \sqrt{\Box} i$ であること、$\omega^3$ の値を求め、$\omega^{48}$ と $\omega^{47}$ の値を求める。

(2) $x^{61} + 3x^{48} - 3x^{47}$ を $x^2 - x + 1$ で割ったときの余りを $ax + b$ (a, b は実数) とするとき、a, b の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 - x + 1 = 0$ の解は解の公式より、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$.

$\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ とおく。すると

$\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

$\omega^3 = 1$ である。

$\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき、$2\omega = 1 + \sqrt{3}i$ なので、$\omega = -(\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}) + i \sqrt{3}$ である。

$\omega^3 = 1$ なので $\omega^{48} = (\omega^3)^{16} = 1^{16} = 1$.

$\omega^{47} = \omega^{48} \cdot \omega^{-1} = \frac{1}{\omega} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}i} = \frac{2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)} = \frac{2(1 - \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{2(1 - \sqrt{3}i)}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \overline{\omega}$.

$\omega^{47} = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$.

(2)

$P(x) = x^{61} + 3x^{48} - 3x^{47}$ とする。$P(x)$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $ax + b$ であるから、

$P(x) = (x^2 - x + 1)Q(x) + ax + b$ と書ける。

$\omega$ は $x^2 - x + 1 = 0$ の解なので、$P(\omega) = a\omega + b$ である。

$P(\omega) = \omega^{61} + 3\omega^{48} - 3\omega^{47} = (\omega^3)^{20} \cdot \omega + 3(\omega^3)^{16} - 3(\omega^3)^{15} \cdot \omega^2 = \omega + 3 - 3\omega^2$.

$a\omega + b = \omega + 3 - 3\omega^2$.

$\omega^2 - \omega + 1 = 0$ より $\omega^2 = \omega - 1$ なので、

$\omega + 3 - 3\omega^2 = \omega + 3 - 3(\omega - 1) = \omega + 3 - 3\omega + 3 = -2\omega + 6$.

$a\omega + b = -2\omega + 6$ より、 $a = -2, b = 6$.

3. 最終的な答え

(1)

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$.

$\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$.

$\omega = - \overline{\omega} + \sqrt{3} i$.

$\omega^3 = 1$.

$\omega^{48} = 1$.

$\omega^{47} = \overline{\omega}$.

(2)

$a = -2$.

$b = 6$.