箱Aには1, 2, 3, 4, 5の数字が書かれたカードが1枚ずつ、箱Bには1, 2, 3, 4, 5, 6の数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。箱Aから取り出したカードの数を$a$、箱Bから取り出したカードの数を$b$とする。以下の確率をそれぞれ求めよ。 (1) $a=2$, $b=3$となる確率 (2) $a > b$となる確率 (3) $a$と$b$の積が3の倍数となる確率

1. 問題の内容

箱Aには1, 2, 3, 4, 5の数字が書かれたカードが1枚ずつ、箱Bには1, 2, 3, 4, 5, 6の数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。箱Aから取り出したカードの数を$a$、箱Bから取り出したカードの数を$b$とする。以下の確率をそれぞれ求めよ。

(1) $a=2$, $b=3$となる確率

(2) $a > b$となる確率

(3) $a$と$b$の積が3の倍数となる確率

2. 解き方の手順

(1) $a=2$となる確率は$\frac{1}{5}$であり、$b=3$となる確率は$\frac{1}{6}$である。$a$と$b$は独立なので、求める確率はそれぞれの確率の積となる。

$$P(a=2, b=3) = P(a=2) \times P(b=3)$$

(2) $a > b$となる組み合わせを考える。

$a=1$のとき、$a>b$となる$b$は存在しない。

$a=2$のとき、$b=1, 2$に対して$a>b$となる。

$a=3$のとき、$b=1, 2, 3$に対して$a>b$となる。

$a=4$のとき、$b=1, 2, 3, 4$に対して$a>b$となる。

$a=5$のとき、$b=1, 2, 3, 4, 5$に対して$a>b$となる。

したがって、$a>b$となる組み合わせは$0+1+2+3+4 = 10$通り。

すべての組み合わせは$5 \times 6 = 30$通りなので、$a>b$となる確率は$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$となる。

(3) $a$と$b$の積が3の倍数になるのは、$a$が3の倍数であるか、$b$が3の倍数であるか、または両方が3の倍数の場合である。

$a$が3の倍数である確率は、$a=3$の場合なので$\frac{1}{5}$。

$b$が3の倍数である確率は、$b=3$または$b=6$の場合なので$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

$a$が3の倍数で、$b$が3の倍数である確率は、$\frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$。

$a$と$b$の積が3の倍数となる確率を求めるために、$a$が3の倍数である確率と$b$が3の倍数である確率を足し合わせ、両方が3の倍数である確率を引く。

$$P(a \text{が3の倍数または } b \text{が3の倍数}) = P(a \text{が3の倍数}) + P(b \text{が3の倍数}) - P(a \text{と} b \text{が両方3の倍数})$$

$$= \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$$

または、$a$と$b$の積が3の倍数にならない確率を求めて、それを1から引くことでも求められる。

$a$が3の倍数でない確率は$1-\frac{1}{5} = \frac{4}{5}$。

$b$が3の倍数でない確率は$1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

$a$と$b$の積が3の倍数でない確率は$\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$。

したがって、$a$と$b$の積が3の倍数となる確率は$1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{30}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $\frac{7}{15}$