箱Aには白玉1個と黒玉2個、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っています。箱A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出す操作を考えます。取り出した玉の色が同じなら元の箱に戻し、異なるなら取り出した箱とは異なる箱に入れます。 (1) 操作を1回行った後、箱Aの白玉が0個になる確率と1個になる確率を求めます。 (2) 操作を2回行った後、箱Aの白玉が1個になる確率を求めます。 (3) 操作を2回行った後、箱Aの白玉の個数を$X$とするとき、$X$の期待値を求めます。

1. 問題の内容

箱Aには白玉1個と黒玉2個、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っています。箱A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出す操作を考えます。取り出した玉の色が同じなら元の箱に戻し、異なるなら取り出した箱とは異なる箱に入れます。

(1) 操作を1回行った後、箱Aの白玉が0個になる確率と1個になる確率を求めます。

(2) 操作を2回行った後、箱Aの白玉が1個になる確率を求めます。

(3) 操作を2回行った後、箱Aの白玉の個数を$X$とするとき、$X$の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 操作1回後

箱Aの白玉が0個になるのは、Aから白玉、Bから白玉を取り出すか、Aから黒玉、Bから黒玉を取り出す場合です。確率は、

$\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$。

箱Aの白玉が1個になるのは、Aから白玉、Bから黒玉を取り出すか、Aから黒玉、Bから白玉を取り出す場合です。確率は、

$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。

(2) 操作2回後

操作1回後に箱Aに白玉が0個の場合、箱Aには黒玉3個が入っています。この時、箱Bには白玉3個と黒玉0個が入っています。操作2回後に箱Aに白玉が1個になるためには、Aから黒玉、Bから白玉を取り出す必要があります。確率は$\frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3}=1$。操作1回後に箱Aに白玉が1個の場合、箱Aには白玉1個と黒玉2個が入っており、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っています。操作2回後に箱Aに白玉が1個になるには、玉の色が同じ組み合わせを取り出す必要があります。確率は$\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{9}$。

操作1回後に箱Aに白玉が2個の場合、箱Aには白玉2個と黒玉1個が入っており、箱Bには白玉1個と黒玉2個が入っています。操作2回後に箱Aに白玉が1個になるには、玉の色が異なる組み合わせを取り出す必要があります。確率は$\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{9}$。

操作1回後に箱Aに白玉が3個の場合、箱Aには白玉3個と黒玉0個が入っており、箱Bには白玉0個と黒玉3個が入っています。操作2回後に箱Aに白玉が1個になるには、Aから白玉、Bから黒玉を取り出す必要があります。確率は$\frac{3}{3}\cdot\frac{3}{3}=1$。

したがって、求める確率は、

$\frac{4}{9}\cdot 0 + \frac{5}{9}\cdot\frac{5}{9} = \frac{25}{81}$。

(3) $X$の期待値

操作2回後の箱Aの白玉の個数は0,1,2,3のいずれかです。

箱Aの白玉が0個になるのは、$\frac{4}{9} \cdot 1 + \frac{5}{9}\cdot\frac{1}{9} = \frac{41}{81}$。

箱Aの白玉が1個になるのは$\frac{25}{81}$。

箱Aの白玉が2個になるのは$\frac{4}{9}\cdot 0 + \frac{5}{9}\cdot\frac{4}{9} = \frac{20}{81}$。

箱Aの白玉が3個になるのは$\frac{4}{9}\cdot 0 + \frac{5}{9}\cdot\frac{1}{9} = \frac{5}{81}$。

よって、期待値は

$0\cdot\frac{41}{81} + 1\cdot\frac{25}{81} + 2\cdot\frac{20}{81} + 3\cdot\frac{5}{81} = \frac{25 + 40 + 15}{81} = \frac{80}{81}$。

3. 最終的な答え

(1) 19: $\frac{4}{9}$, 20: $\frac{5}{9}$

(2) 21: $\frac{25}{81}$

(3) 22: $\frac{80}{81}$