箱Aには白玉1個と黒玉2個、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っている。各箱から1個ずつ玉を取り出す操作を考える。取り出した玉の色が同じなら、取り出した玉を元の箱に戻す。色が異なるなら、取り出した玉を相手の箱に入れる。この操作を繰り返し行うとき、以下の確率と期待値を求める。 (1) 1回操作後、箱Aの白玉が0個になる確率と1個になる確率 (2) 2回操作後、箱Aの白玉が1個になる確率 (3) 2回操作後、箱Aに入っている白玉の個数をXとするとき、Xの期待値

1. 問題の内容

箱Aには白玉1個と黒玉2個、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っている。各箱から1個ずつ玉を取り出す操作を考える。取り出した玉の色が同じなら、取り出した玉を元の箱に戻す。色が異なるなら、取り出した玉を相手の箱に入れる。この操作を繰り返し行うとき、以下の確率と期待値を求める。

(1) 1回操作後、箱Aの白玉が0個になる確率と1個になる確率

(2) 2回操作後、箱Aの白玉が1個になる確率

(3) 2回操作後、箱Aに入っている白玉の個数をXとするとき、Xの期待値

2. 解き方の手順

(1) 1回操作後について

箱Aの白玉の個数が0個になるのは、箱Aから白玉を取り出し、箱Bから黒玉を取り出したとき。箱Aの白玉の個数が1個になるのは、(箱Aから白玉を取り出し、箱Bから白玉を取り出した)または(箱Aから黒玉を取り出し、箱Bから黒玉を取り出した)のいずれかのとき。

箱Aから白玉を取り出す確率は $1/3$、黒玉を取り出す確率は $2/3$。

箱Bから白玉を取り出す確率は $2/3$、黒玉を取り出す確率は $1/3$。

箱Aの白玉が0個になる確率は $(1/3) \times (1/3) = 1/9$。

箱Aの白玉が1個になる確率は $(1/3) \times (2/3) + (2/3) \times (1/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9$。

(2) 2回操作後について

1回目の操作後に箱Aの白玉が0個のとき、箱Aは黒玉3個となる。このとき箱Bは白玉3個となる。箱Aの白玉が1個のとき箱Aの白玉が1個になる確率は(箱Aから白玉を取り出し、箱Bから白玉を取り出した)または(箱Aから黒玉を取り出し、箱Bから黒玉を取り出した)のいずれかのとき。

1回目の操作後に箱Aの白玉が2個のとき、箱Aの白玉が1個になる確率は(箱Aから白玉を取り出し、箱Bから黒玉を取り出した)とき。

まず、1回操作後の箱Aの白玉の数が0個、1個、2個の確率を求める。1回操作後の箱Aの白玉が0個になる確率は $1/9$。1回操作後の箱Aの白玉が1個になる確率は $4/9$。1回操作後の箱Aの白玉が2個になる確率は $1 - (1/9) - (4/9) = 4/9$。

2回目の操作後、箱Aの白玉が1個になる確率は、

- 1回目0個で2回目1個になる確率: $(1/9) \times (0 \times (1/3) + 1 \times (2/3))= 2/27$

- 1回目1個で2回目1個になる確率: $(4/9) \times ((1/3) \times (2/3) + (2/3) \times (1/3))= 16/81$

- 1回目2個で2回目1個になる確率: $(4/9) \times ((2/3) \times (1/3))= 8/81$

合計 $2/27 + 16/81 + 8/81 = 6/81 + 16/81 + 8/81 = 30/81$

操作を1回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が0個となる確率は $1/9$ であり、箱Aに入っている白玉の個数が1個となる確率は $4/9$ である。

ここで、箱Aの白玉の数が0,1,2になる確率をp(0), p(1), p(2)とすると、

1回目の操作の後、

p(0) = 1/9

p(1) = 4/9

p(2) = 4/9

2回目の操作の後、箱Aの白玉が1個になる確率p'は、

p'(1) = (1/9)(0) + (4/9)((1/3)(2/3)+(2/3)(1/3)) + (4/9)(2/3)(1/3) = (4/9)(4/9) + (4/9)(2/9) = 16/81 + 8/81 = 24/81 = 8/27

(3) 2回操作後、箱Aの白玉の数の期待値

2回操作後の箱Aの白玉の数が0, 1, 2, 3となる確率を求める。

p(0) = (1/9)(1) + (4/9)(2/3)(1/3) + (4/9)(2/3)(1/3) = 1/9 + 16/81 = 9/81 + 16/81 = 25/81

p(1) = 30/81

p(2) = ...

p(0)を計算し直すと、

箱Aが3つの黒玉になるには、Aで白玉を取り出し、Bで黒玉を取り出す必要がある。

箱Aが3つの黒玉になる確率=$1/9$

A=0, B=3 の状態から操作を行うと、必ず玉の色が異なるので、A,Bを交換する事になる。箱Aに黒玉が3個あるとき、箱Aから黒玉を取り出す確率は1。したがって箱A=0から箱A=0に戻ることはない。

箱Aの白玉の個数をXとすると、Xの期待値は $0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)$。

1回操作後に状態は A=0(1/9), A=1(4/9), A=2(4/9) のいずれか。

2回操作後の状態は

A=0となる確率: (1/9)*0 + (4/9)*(1/3*1/3) + (4/9)*(2/3*2/3) = 0 + 4/81 + 16/81 = 20/81

A=1となる確率: (1/9)*1 + (4/9)*(1/3*2/3+2/3*1/3) + (4/9)*(2/3*1/3 + 1/3*2/3)

= (1/9)*1 + (4/9)*(4/9)

= (1/9) + (16/81) = 9/81 + 16/81 = 25/81

A=2となる確率: ...

A=3となる確率: ...

3. 最終的な答え

19: ア. 1/9

20: ウ. 4/9

21: イ. 25/81

22: イ. 11/9