$a$ を定数とする。集合 $A = \{x | a-1 \le x \le 2a+3\}$ と $B = \{x | 9-2a \le x \le 5a+2\}$ について、以下の2つの条件を満たす $a$ の範囲を求める。 (1) $A \ne \emptyset$ かつ $B \ne \emptyset$ (2) $A \cap B \ne \emptyset$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。集合 $A = \{x | a-1 \le x \le 2a+3\}$ と $B = \{x | 9-2a \le x \le 5a+2\}$ について、以下の2つの条件を満たす $a$ の範囲を求める。

(1) $A \ne \emptyset$ かつ $B \ne \emptyset$

(2) $A \cap B \ne \emptyset$

2. 解き方の手順

(1) $A \ne \emptyset$ となる条件は、$a-1 \le 2a+3$。これを解くと、$a \ge -4$。

$B \ne \emptyset$ となる条件は、$9-2a \le 5a+2$。これを解くと、$7a \ge 7$ より $a \ge 1$。

したがって、$A \ne \emptyset$ かつ $B \ne \emptyset$ となる条件は、$a \ge -4$ かつ $a \ge 1$ より、$a \ge 1$。

(2) $A \cap B \ne \emptyset$ となる条件は、以下のいずれかが成り立つことである。

(i) $a-1 \le 5a+2$ かつ $9-2a \le 2a+3$

(ii) $9-2a \le 2a+3$ かつ $a-1 \le 5a+2$ かつ $a-1 \le 5a+2$

$A \cap B \ne \emptyset$であるための条件は、$A$ の区間と $B$ の区間が重なることなので、

$a-1 \le 5a+2$ かつ $9-2a \le 2a+3$　または

$9-2a \le 2a+3$ かつ $a-1 \le 5a+2$

$A \cap B \ne \emptyset$ となる条件は、

$a-1 \le 5a+2$ と $9-2a \le 2a+3$ が両方成立すること　または

$\max(a-1, 9-2a) \le \min(2a+3, 5a+2)$であること。

$a-1 \le 5a+2$ を解くと、$4a \ge -3$ より $a \ge -\frac{3}{4}$。

$9-2a \le 2a+3$ を解くと、$4a \ge 6$ より $a \ge \frac{3}{2}$。

$a \ge \frac{3}{2}$ のとき、$a-1 \le 5a+2$ は常に成り立つ。

$A \cap B \ne \emptyset$ となる条件は、$A$ の右端が $B$ の左端より大きいか等しい、または $B$ の右端が $A$ の左端より大きいか等しいことである。

$2a+3 \ge 9-2a$ または $5a+2 \ge a-1$

$4a \ge 6$ または $4a \ge -3$

$a \ge \frac{3}{2}$ または $a \ge -\frac{3}{4}$

よって、$a \ge -\frac{3}{4}$

また，$A \cap B \ne \emptyset$の条件は、

$a-1 \le 5a+2$ かつ $9-2a \le 2a+3$

から、$a \ge -\frac{3}{4}$ かつ $a \ge \frac{3}{2}$。よって、$a \ge \frac{3}{2}$.

$A \cap B \ne \emptyset$となる条件は、$A$の区間と$B$の区間が交わる条件なので、$a-1 \le 5a+2$かつ$9-2a \le 2a+3$ または $9-2a \le 2a+3$かつ$a-1 \le 5a+2$。

これは、$2a+3 \ge 9-2a$ かつ $5a+2 \ge a-1$。すなわち$4a \ge 6$ かつ $4a \ge -3$より、$a \ge \frac{3}{2}$ かつ $a \ge -\frac{3}{4}$なので、$a \ge \frac{3}{2}$。

$A \cap B \ne \emptyset$となる条件は、$max(a-1, 9-2a) \le min(2a+3, 5a+2)$。

$A \cap B \ne \emptyset$ は、$a-1 \le 5a+2$ かつ $9-2a \le 2a+3$.

$-\frac{3}{4} \le a$ かつ $\frac{3}{2} \le a$.

したがって、$a \ge \frac{3}{2}$

ここで、$a \ge 1$ より、$A \cap B \ne \emptyset$となる条件は $9-2a \le 2a+3$ かつ $a-1 \le 5a+2$。

$4a \ge 6$ かつ $4a \ge -3$。

$a \ge \frac{3}{2}$ かつ $a \ge -\frac{3}{4}$。

したがって、$a \ge \frac{3}{2}$

最終的に、$max(a-1, 9-2a) \le min(2a+3, 5a+2)$を満たす必要がある.

$-\frac{3}{4} \le a \le \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

3: ア. $a \ge 1$

4: ウ. $-\frac{3}{4} \le a \le \frac{3}{2}$