$a$を定数とし、集合$A = \{x | a-1 \le x \le 2a+3\}$と集合$B = \{x | 9-2a \le x \le 5a+2\}$が与えられている。 (1) $A \neq \emptyset$ かつ $B \neq \emptyset$ を満たすような$a$の値の範囲を求める。 (2) $A \cap B \neq \emptyset$ を満たすような$a$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とし、集合$A = \{x | a-1 \le x \le 2a+3\}$と集合$B = \{x | 9-2a \le x \le 5a+2\}$が与えられている。

(1) $A \neq \emptyset$ かつ $B \neq \emptyset$ を満たすような$a$の値の範囲を求める。

(2) $A \cap B \neq \emptyset$ を満たすような$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \neq \emptyset$となる条件は、$a-1 \le 2a+3$である。これを解くと、$a \ge -4$となる。

$B \neq \emptyset$となる条件は、$9-2a \le 5a+2$である。これを解くと、$7 \le 7a$より、$a \ge 1$となる。

$A \neq \emptyset$ かつ $B \neq \emptyset$ を満たすためには、$a \ge -4$ かつ $a \ge 1$ である必要があるので、$a \ge 1$となる。

(2) $A \cap B \neq \emptyset$ となる条件は、以下の不等式が成り立つことである。

$a-1 \le 5a+2$ かつ $9-2a \le 2a+3$、または $a-1 \le 5a+2$ かつ $2a+3 \ge 9-2a$、または $2a+3 \ge 9-2a$ かつ $5a+2 \ge a-1$

$a-1 \le 5a+2$ より、$4a \ge -3$ なので、$a \ge -\frac{3}{4}$

$9-2a \le 2a+3$ より、$4a \ge 6$ なので、$a \ge \frac{3}{2}$

$2a+3 \ge 9-2a$ より、$4a \ge 6$ なので、$a \ge \frac{3}{2}$

$5a+2 \ge a-1$ より、$4a \ge -3$ なので、$a \ge -\frac{3}{4}$

集合$A$と集合$B$が共通部分を持つ条件は、$A$の最大値が$B$の最小値以上であるか、$B$の最大値が$A$の最小値以上であることである。

つまり、$2a+3 \ge 9-2a$ または $5a+2 \ge a-1$ である。

$2a+3 \ge 9-2a$ より、$4a \ge 6$ なので、$a \ge \frac{3}{2}$

$5a+2 \ge a-1$ より、$4a \ge -3$ なので、$a \ge -\frac{3}{4}$

また、$2a+3 \ge a-1$より$a \ge -4$ かつ $5a+2 \ge 9-2a$より$7a \ge 7$ つまり$a \ge 1$となる必要がある。

$a-1 \le 5a+2$と$9-2a \le 2a+3$が同時に成り立つ必要がある。

$a-1 \le 5a+2$を解くと、$4a \ge -3$より$a \ge -\frac{3}{4}$

$9-2a \le 2a+3$を解くと、$4a \ge 6$より$a \ge \frac{3}{2}$

$2a+3 \ge 9-2a$となるのは、$4a \ge 6$より$a \ge \frac{3}{2}$

$a-1 \le 5a+2$より$4a \ge -3$なので、$a \ge -\frac{3}{4}$

$A \cap B \neq \emptyset$であるためには、$a-1 \le 5a+2$かつ$9-2a \le 2a+3$、

または、$a-1 \le 5a+2$かつ$2a+3 \ge 9-2a$となる必要がある。

$a-1 \le 5a+2$より、$4a \ge -3$ よって、$a \ge -\frac{3}{4}$

$9-2a \le 2a+3$より、$4a \ge 6$ よって、$a \ge \frac{3}{2}$

$2a+3 \ge 9-2a$より、$4a \ge 6$ よって、$a \ge \frac{3}{2}$

したがって、$a \ge -\frac{3}{4}$かつ$a \ge \frac{3}{2}$、または、$a \ge -\frac{3}{4}$かつ$a \ge \frac{3}{2}$なので、$a \ge -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

3: ア. $a \ge 1$

4: ア. $a \ge -\frac{3}{4}$