紙Aは縦4cm、横8cmの長方形、紙Bは縦4cm、横2cmの長方形である。これらを重ねて並べる。 (1) 紙Aと紙Bの合計枚数が13枚のとき、紙Bの枚数を求める。 (2) 紙Aの枚数がn枚のとき、紙Aと紙Bの合計枚数をnを用いて表す。ただし、一番右は紙Aとする。 (3) 紙Aの枚数が14枚のとき、並べる紙全体の面積を求める。ただし、一番右は紙Aとする。

1. 問題の内容

紙Aは縦4cm、横8cmの長方形、紙Bは縦4cm、横2cmの長方形である。これらを重ねて並べる。

(1) 紙Aと紙Bの合計枚数が13枚のとき、紙Bの枚数を求める。

(2) 紙Aの枚数がn枚のとき、紙Aと紙Bの合計枚数をnを用いて表す。ただし、一番右は紙Aとする。

(3) 紙Aの枚数が14枚のとき、並べる紙全体の面積を求める。ただし、一番右は紙Aとする。

2. 解き方の手順

(1)

紙A, 紙Bを順に並べると、紙A, 紙Bの枚数の比は1:2となる。

紙Aと紙Bの合計枚数が13枚なので、紙Aの枚数をx, 紙Bの枚数をyとすると、

$x + y = 13$

$x : y$が1 : 2に近い組み合わせを探す。

A, B, A, B, A, B, ...と並ぶので、紙Aの枚数と紙Bの枚数の差は最大でも1となる。

13枚の場合、紙Aと紙Bの枚数の候補は次の通り。

(A, B) = (6, 7), (7, 6)

Aで終わることからAが多い。

紙Aの枚数をxとすると、

紙Bの枚数はx-1またはx-2となる

$x + x-1 = 13$

$2x = 14$

$x=7$

よって紙Aは7枚、紙Bは6枚

$x + x-2 = 13$

$2x = 15$

これは整数解を持たないので不適。

(2)

紙Aの枚数がn枚のとき、紙Aと紙Bの合計枚数を求める。

紙A, 紙B, 紙A, 紙B, ...と並べたとき、紙Aがn枚となる場合、紙Bはn-1枚またはn-2枚となる。

ただし、一番右は紙Aなので、紙Bはn-1枚の場合のみを考慮する。

したがって、紙Aと紙Bの合計枚数は $n + (n-1) = 2n - 1$枚。

(3)

紙Aの枚数が14枚のとき、全体の面積を求める。

このとき、紙Bの枚数は13枚である。

紙Aの面積は$4cm \times 8cm = 32cm^2$。

紙Bの面積は$4cm \times 2cm = 8cm^2$。

紙Aと紙Bが重なる部分の面積は$1cm \times 2cm = 2cm^2$。

紙Aが14枚、紙Bが13枚並ぶ時、重なる部分は13+12 = 26か所

$14 \times 32 + 13 \times 8 - 26 \times 2 = 448 + 104 - 52 = 500 cm^2$

3. 最終的な答え

(1) 6枚

(2) 2n - 1

(3) 500 cm²