Aさんは10時に家を出て、1600m離れた野球場へ向かいました。途中で忘れ物に気づき、弟と別れて家に戻り、再び野球場へ向かいました。 (1) Aさんが再び家を出てから野球場に着くまでを表すグラフの式と $x$ の変域を求めます。 (2) 弟はAさんと別れてから、はじめに歩いていた速さの半分の速さで歩きました。Aさんが弟に追いつくのは10時何分何秒かを求めます。

1. 問題の内容

Aさんは10時に家を出て、1600m離れた野球場へ向かいました。途中で忘れ物に気づき、弟と別れて家に戻り、再び野球場へ向かいました。

(1) Aさんが再び家を出てから野球場に着くまでを表すグラフの式と $x$ の変域を求めます。

(2) 弟はAさんと別れてから、はじめに歩いていた速さの半分の速さで歩きました。Aさんが弟に追いつくのは10時何分何秒かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) Aさんが再び家を出発したのはグラフから $x = 24$ (分) のときであり、このときの $y$ 座標は $0$ です。野球場に到着したのは $x = 40$ (分) のときであり、$y$ 座標は $1600$ (m) です。

したがって、このグラフは $(24, 0)$ と $(40, 1600)$ を通る直線です。

直線の傾きは、

$\frac{1600 - 0}{40 - 24} = \frac{1600}{16} = 100$

したがって、求める直線の方程式は、

$y = 100(x - 24) = 100x - 2400$

$x$ の変域は $24 \leq x \leq 40$ です。

(2) 弟とAさんが別れたのはグラフから $x=16$ (分) のときであり、$y=800$ (m) の地点です。

Aさんは最初の16分で800m進んだので、最初の速さは $800/16 = 50$ (m/分) です。弟はAさんと別れてから半分の速さで歩いたので、弟の速さは $50/2 = 25$ (m/分) です。

Aさんが忘れ物を取りに戻って再び家を出発するまで (24-16) = 8分かかります。この間、弟は $25 \times 8 = 200$ (m) 進みます。したがって、Aさんが家を出たとき、弟は家から $800+200 = 1000$ (m) の地点にいます。

Aさんが弟に追いつくまでの時間を $t$ 分とすると、以下の式が成り立ちます。

$100t = 25t + 1000$

$75t = 1000$

$t = \frac{1000}{75} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$ (分)

Aさんが再び家を出発したのは10時24分なので、Aさんが弟に追いつくのは10時24分 $+ 13\frac{1}{3}$分 = 10時37分20秒 です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 100x - 2400$ ($24 \leq x \leq 40$)

(2) 10時37分20秒