数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -6$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2n + 4$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されている。 (1) 数列が初めて正の値をとるのは第何項か。 (2) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (3) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -6$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2n + 4$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されている。

(1) 数列が初めて正の値をとるのは第何項か。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、数列のいくつかの項を計算して、正の値となる最初の項を見つけます。

$a_1 = -6$

$a_2 = 2a_1 + 2(1) + 4 = 2(-6) + 2 + 4 = -12 + 6 = -6$

$a_3 = 2a_2 + 2(2) + 4 = 2(-6) + 4 + 4 = -12 + 8 = -4$

$a_4 = 2a_3 + 2(3) + 4 = 2(-4) + 6 + 4 = -8 + 10 = 2$

したがって、数列が初めて正の値をとるのは第4項である。

(2) 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2n + 4$ を解いて、一般項 $a_n$ を求めます。

$a_{n+1} = 2a_n + 2n + 4$ の両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{2n+4}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{n+2}{2^n}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とすると、

$b_{n+1} = b_n + \frac{n+2}{2^n}$

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{-6}{2} = -3$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k+2}{2^k} = -3 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k} + 2\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k}$

ここで、$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k}$ とすると、

$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n-1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \dots + \frac{n-2}{2^{n-1}} + \frac{n-1}{2^n}$

$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{n-1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}} - \frac{n-1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{n-1}{2^n} = 1 - \frac{2}{2^n} - \frac{n-1}{2^n} = 1 - \frac{n+1}{2^n}$

$\frac{1}{2}S = 1 - \frac{n+1}{2^n}$

$S = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$

したがって、

$b_n = -3 + 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}} + 2(1 - \frac{1}{2^{n-1}}) = -3 + 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}} + 2 - \frac{2}{2^{n-1}} = 1 - \frac{n+3}{2^{n-1}}$

$a_n = 2^n b_n = 2^n (1 - \frac{n+3}{2^{n-1}}) = 2^n - 2(n+3) = 2^n - 2n - 6$

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 2k - 6) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 6 = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - 2\frac{n(n+1)}{2} - 6n = 2^{n+1} - 2 - n(n+1) - 6n = 2^{n+1} - 2 - n^2 - n - 6n = 2^{n+1} - n^2 - 7n - 2$

3. 最終的な答え

(1) 第4項

(2) $a_n = 2^n - 2n - 6$

(3) $S_n = 2^{n+1} - n^2 - 7n - 2$