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りんご、みかん、バナナの3種類の果物から、合計6個を選ぶ組み合わせの数を求める問題です。選ばない果物があっても良いとします。

代数学組み合わせ重複組み合わせ数え上げ組み合わせ論
2025/8/1

1. 問題の内容

りんご、みかん、バナナの3種類の果物から、合計6個を選ぶ組み合わせの数を求める問題です。選ばない果物があっても良いとします。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。3種類の果物から6個選ぶということは、x+y+z=6x+y+z=6 を満たす非負整数の組 (x,y,z)(x, y, z) の数を求めることと同じです。ここで、xx はりんごの個数、yy はみかんの個数、zz はバナナの個数を表します。
この問題は、仕切りを使って考えることができます。6個の果物を並べ、2つの仕切りを入れることで、3種類の果物の個数を区切ることができます。例えば、
〇〇｜〇〇〇｜〇
という並びは、りんごが2個、みかんが3個、バナナが1個であることを表します。
したがって、6個の〇と2つの｜を並べる順列の数を求めれば良いことになります。これは、(6+2)個の中から2つの｜を入れる場所を選ぶ組み合わせの数に等しく、
6+2C2=8C2_{6+2}C_2 = _8C_2
で計算できます。
8C2=8!2!6!=8×72×1=28_{8}C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28

3. 最終的な答え

28通り

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