与えられた2次関数について、グラフとx軸の共有点の座標を求め、さらに、これらの放物線がx軸から切り取る線分の長さを求めます。 (1) $y = 2x^2 - x - 3$ (2) $y = -x^2 - 4x + 3$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、グラフとx軸の共有点の座標を求め、さらに、これらの放物線がx軸から切り取る線分の長さを求めます。

(1) $y = 2x^2 - x - 3$

(2) $y = -x^2 - 4x + 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - x - 3$

* x軸との共有点を求めるため、$y = 0$とおきます。

$2x^2 - x - 3 = 0$

* この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(2x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = \frac{3}{2}, -1$

よって、x軸との共有点の座標は$(\frac{3}{2}, 0)$と$(-1, 0)$です。

* x軸から切り取る線分の長さは、共有点のx座標の差の絶対値です。

$\left|\frac{3}{2} - (-1)\right| = \left|\frac{3}{2} + 1\right| = \left|\frac{5}{2}\right| = \frac{5}{2}$

(2) $y = -x^2 - 4x + 3$

* x軸との共有点を求めるため、$y = 0$とおきます。

$-x^2 - 4x + 3 = 0$

$x^2 + 4x - 3 = 0$

* この2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$

したがって、$x = -2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7}$

よって、x軸との共有点の座標は$(-2 + \sqrt{7}, 0)$と$(-2 - \sqrt{7}, 0)$です。

* x軸から切り取る線分の長さは、共有点のx座標の差の絶対値です。

$|(-2 + \sqrt{7}) - (-2 - \sqrt{7})| = |-2 + \sqrt{7} + 2 + \sqrt{7}| = |2\sqrt{7}| = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) x軸との共有点の座標: $(\frac{3}{2}, 0)$、 $(-1, 0)$

x軸から切り取る線分の長さ: $\frac{5}{2}$

(2) x軸との共有点の座標: $(-2 + \sqrt{7}, 0)$、 $(-2 - \sqrt{7}, 0)$

x軸から切り取る線分の長さ: $2\sqrt{7}$