与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 - 3x + 4y + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 - 3x + 4y + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$x^2 - (y+3)x - (6y^2 - 4y - 2)$

次に、定数項の $-(6y^2 - 4y - 2)$ を因数分解します。

$-(6y^2 - 4y - 2) = -2(3y^2 - 2y - 1) = -2(3y+1)(y-1)$

式全体を因数分解できる形であると仮定すると、 $(x+Ay+B)(x+Cy+D)$ の形になるはずです。

展開した結果、$x^2 + (A+C)xy + ACy^2 + (B+D)x + (AD+BC)y + BD$ となります。

与えられた式と比較すると、以下の関係が得られます。

$A+C = -1$

$AC = -6$

$B+D = -3$

$AD+BC = 4$

$BD = 2$

上記の定数項の因数分解の結果から、定数項が $-(3y+1)(y-1)$ であり、定数項の因数分解の形を考慮すると、

$(x+2y+1)(x-3y+2)$ が候補として考えられます。

実際に展開してみると、

$(x+2y+1)(x-3y+2) = x^2 -3xy +2x + 2xy -6y^2 +4y +x -3y +2 = x^2 -xy -6y^2 +3x + y + 2$ となり、元の式とは符号が異なります。

$(x-3y-1)(x+2y-2) = x^2 + 2xy -2x -3xy -6y^2 +6y -x -2y + 2 = x^2 -xy -6y^2 -3x + 4y + 2$

この結果は、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x-3y-1)(x+2y-2)$