与えられた式 $4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(y-2)(3y+1)$ を展開します。

$(y-2)(3y+1) = 3y^2 + y - 6y - 2 = 3y^2 - 5y - 2$

したがって、与えられた式は

$4x^2 + (y-9)x - (3y^2 - 5y - 2)$

$= 4x^2 + (y-9)x - 3y^2 + 5y + 2$

次に、定数項 $-3y^2 + 5y + 2$ を因数分解します。

$-3y^2 + 5y + 2 = -(3y^2 - 5y - 2) = -(3y+1)(y-2)$

与式を因数分解すると

$4x^2 + (y-9)x - (3y+1)(y-2) = (ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形になると仮定します。

$4x^2 + (y-9)x - (3y^2 - 5y - 2)$

$= 4x^2 + (y-9)x - (3y+1)(y-2)$

$= (4x + ay + b)(x + cy + d)$ の形を仮定します。

この場合、係数を比較すると、

$ac = -3, ad+bc = 5, bd = 2$ となります。

$4x^2 + (y-9)x - (3y+1)(y-2) = (4x + 3y + 1)(x - y + 2)$

$= 4x^2 -4xy + 8x + 3xy -3y^2 + 6y + x - y + 2$

$= 4x^2 -xy + 9x -3y^2 + 5y + 2$

$= 4x^2 + (y-9)x -3y^2+5y+2 = 4x^2 + (y-9)x - (3y^2-5y-2)$

$4x^2 + (y-9)x - (3y+1)(y-2)$

$= (4x + ay + b)(x + cy + d) = 4x^2 + 4cxy + 4dx + axy + acy^2 + ady + bx + bcy + bd$

$= 4x^2 + (4c+a)xy + (4d+b)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

$ac = -3, ad + bc = 5, bd = 2$

$4c+a = 0, 4d+b = y-9$

$ac = -3, ad + bc = y-9, bd=-(3y+1)(y-2)$

$ac = -3, ad + bc = 5$

$4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1) = (4x + (3y+1))(x-(y-2)) = (4x+3y+1)(x-y+2)$

3. 最終的な答え

$(4x + 3y + 1)(x - y + 2)$