ある農場で生産した卵400個を無作為抽出し、その重さを調べたところ平均が53.4gであった。母標準偏差が2.5gであるとき、この農場で生産されている卵の重さの平均を信頼度95%で推定し、その範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

ある農場で生産した卵400個を無作為抽出し、その重さを調べたところ平均が53.4gであった。母標準偏差が2.5gであるとき、この農場で生産されている卵の重さの平均を信頼度95%で推定し、その範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間を求める問題です。標本平均を$\bar{x}$、母標準偏差を$\sigma$、標本サイズを$n$、信頼係数を$z_{\alpha/2}$とすると、母平均$\mu$の信頼度$(1 - \alpha) \times 100\%$の信頼区間は以下のように表されます。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 53.4$, $\sigma = 2.5$, $n = 400$です。

信頼度95%なので、$z_{\alpha/2} = 1.96$となります。

信頼区間の下限は、

$53.4 - 1.96 \times \frac{2.5}{\sqrt{400}} = 53.4 - 1.96 \times \frac{2.5}{20} = 53.4 - 1.96 \times 0.125 = 53.4 - 0.245 = 53.155$

信頼区間の上限は、

$53.4 + 1.96 \times \frac{2.5}{\sqrt{400}} = 53.4 + 1.96 \times \frac{2.5}{20} = 53.4 + 1.96 \times 0.125 = 53.4 + 0.245 = 53.645$

したがって、信頼区間は$53.155 \leq \mu \leq 53.645$ となります。選択肢の中から最も近いものを選ぶと、53.2g以上53.6g以下となります。

3. 最終的な答え

(3) 53.2g以上53.6g以下