(1) 初項が3、公差が4の等差数列の初項から第何項までの和が820になるか。 (2) 等差数列 -9, -7, -5, ... の初項から第何項までの和が96になるか。

1. 問題の内容

(1) 初項が3、公差が4の等差数列の初項から第何項までの和が820になるか。

(2) 等差数列 -9, -7, -5, ... の初項から第何項までの和が96になるか。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和の公式を用いる。初項を $a$、公差を $d$、項数を $n$ とすると、和 $S_n$ は次のように表される。

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

問題文より、$a=3$, $d=4$, $S_n = 820$ であるから、

$820 = \frac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1)4)$

$1640 = n(6 + 4n - 4)$

$1640 = n(2 + 4n)$

$1640 = 2n + 4n^2$

$4n^2 + 2n - 1640 = 0$

$2n^2 + n - 820 = 0$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(2n + 41)(n - 20) = 0$

$n$ は自然数なので、$n=20$

(2) 等差数列の和の公式を用いる。初項を $a$、公差を $d$、項数を $n$ とすると、和 $S_n$ は次のように表される。

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

問題文より、$a=-9$, $d=2$, $S_n = 96$ であるから、

$96 = \frac{n}{2}(2 \cdot (-9) + (n-1)2)$

$192 = n(-18 + 2n - 2)$

$192 = n(-20 + 2n)$

$192 = -20n + 2n^2$

$2n^2 - 20n - 192 = 0$

$n^2 - 10n - 96 = 0$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(n - 16)(n + 6) = 0$

$n$ は自然数なので、$n=16$

3. 最終的な答え

(1) 第20項

(2) 第16項