2次方程式 $ax^2 + bx + b = 0$ （ただし $ab > 0$）の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha - \beta = \sqrt{5}$ が成り立つ。このとき、$\frac{b}{a}$ および $\alpha, \beta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + b = 0$ （ただし $ab > 0$）の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha - \beta = \sqrt{5}$ が成り立つ。このとき、$\frac{b}{a}$ および $\alpha, \beta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解と係数の関係より、次の式が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha \beta = \frac{b}{a}$$

$\alpha - \beta = \sqrt{5}$ であるから、$(\alpha - \beta)^2 = 5$ となる。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ を用いると、

$$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 5$$

解と係数の関係を代入すると、

$$(-\frac{b}{a})^2 - 4(\frac{b}{a}) = 5$$

$$\frac{b^2}{a^2} - 4\frac{b}{a} - 5 = 0$$

ここで $t = \frac{b}{a}$ とおくと、

$$t^2 - 4t - 5 = 0$$

$$(t - 5)(t + 1) = 0$$

したがって、 $t = 5, -1$ となる。

$ab > 0$ より、$\frac{b}{a} > 0$ であるから、$\frac{b}{a} = 5$ である。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -5$ および $\alpha - \beta = \sqrt{5}$ より、

$$\alpha = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$$

$$\beta = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{b}{a} = 5$

$\alpha = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$

$\beta = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$