$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ が与えられています。このとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ が与えられています。このとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を利用して、$\sin \alpha$ の値を求めます。

$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$\sin^2 \alpha + (\frac{3}{4})^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + \frac{9}{16} = 1$

$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{16}$

$\sin^2 \alpha = \frac{16 - 9}{16}$

$\sin^2 \alpha = \frac{7}{16}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \alpha > 0$ であるから、

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、2倍角の公式を用いて $\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ を計算します。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{3}{4}$

$\sin 2\alpha = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$\cos 2\alpha = (\frac{3}{4})^2 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2$

$\cos 2\alpha = \frac{9}{16} - \frac{7}{16}$

$\cos 2\alpha = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\cos 2\alpha = \frac{1}{8}$