原点Oを中心とする半径1の球面上に2点P, Qがある。点Pの座標が$(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$、点Qの座標が$(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$であるとき、ベクトル$\vec{OP}$と$\vec{OQ}$の内積$\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$の値を求める。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径1の球面上に2点P, Qがある。点Pの座標が$(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$、点Qの座標が$(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$であるとき、ベクトル$\vec{OP}$と$\vec{OQ}$の内積$\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$の値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義に従って計算する。

$\vec{OP} = (\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$

$\vec{OQ} = (-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (\frac{\sqrt{3}}{4})(-\frac{1}{4}) + (\frac{3}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = -\frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{3\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{16}$

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = \frac{6\sqrt{3}}{16} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$