定数 $a$ を用いて表された2つの2次方程式、 $x^2+5x+4-a=0$ と $x^2-3ax+2a^2=0$ の異なる実数解の個数をそれぞれ調べる。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いて表された2つの2次方程式、

$x^2+5x+4-a=0$ と $x^2-3ax+2a^2=0$ の異なる実数解の個数をそれぞれ調べる。

2. 解き方の手順

2次方程式の実数解の個数は、判別式 $D$ の符号によって決まる。

$D>0$ ならば異なる2つの実数解を持つ。

$D=0$ ならば重解（1つの実数解）を持つ。

$D<0$ ならば実数解を持たない。

(2) $x^2+5x+4-a=0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = 5^2 - 4(1)(4-a) = 25 - 16 + 4a = 9+4a$

したがって、

$D_1 > 0$ のとき、 $9+4a>0$ より $a>-\frac{9}{4}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D_1 = 0$ のとき、 $9+4a=0$ より $a=-\frac{9}{4}$ のとき、重解（1つの実数解）を持つ。

$D_1 < 0$ のとき、 $9+4a<0$ より $a<-\frac{9}{4}$ のとき、実数解を持たない。

(4) $x^2-3ax+2a^2=0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-3a)^2 - 4(1)(2a^2) = 9a^2 - 8a^2 = a^2$

したがって、

$D_2 > 0$ のとき、$a^2>0$ より $a\neq 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D_2 = 0$ のとき、$a^2=0$ より $a=0$ のとき、重解（1つの実数解）を持つ。

$D_2 < 0$ となる $a$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(2)

$a > -\frac{9}{4}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$a = -\frac{9}{4}$ のとき、1つの実数解（重解）を持つ。

$a < -\frac{9}{4}$ のとき、実数解を持たない。

(4)

$a \neq 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$a = 0$ のとき、1つの実数解（重解）を持つ。