円Oにおいて、BCは直径である。∠ABC = 50°、∠CAT = 50°のとき、∠BAC（問題図では $x$ で示されている）の大きさを求める。

1. 問題の内容

円Oにおいて、BCは直径である。∠ABC = 50°、∠CAT = 50°のとき、∠BAC（問題図では $x$ で示されている）の大きさを求める。

2. 解き方の手順

* BCは直径なので、円周角の定理より∠BAC = 90°

* ∠BATは∠BACと∠CATからなるので、∠BAT = ∠BAC + ∠CAT = 90 + 50 = 140°

　△ABOにおいて、$AO = BO$（円の半径）より、△ABOは二等辺三角形である。よって、$∠BAO = ∠ABO = 50°$である。

　$∠BAC = ∠BAO + ∠OAC$ より、$∠OAC = ∠BAC - ∠BAO$

∠BCA = 180 - ∠BAC - ∠ABC = 180 - 90 - 50 = 40°

$∠CAT$は接線ATと弦ACがつくる角なので、$∠CAT=∠ABC=50°$となる（接弦定理）

点Aにおける接線ATより、$∠CAT + ∠BAC = 90 + 50=140°$

また△ABCにおいて、$∠ACB = 180° - 90° - 50° = 40°$。

弧ABに対する円周角は$∠ACB = 40°$。

接弦定理より、$∠BAT = ∠BCA = 40°$。

$∠BAT = x + 50°$ より、$x = 140 - 50 = 40°$。

円周角の定理より、$∠CAB = 90°$。

また、接弦定理より、$∠CAT = ∠ABC = 50°$。

$∠BAT = ∠BAC + ∠CAT = x$ なので、$x = 90°-50°=40°$

3. 最終的な答え

40°