問題は、式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を簡略化することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を簡略化することです。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$a(b^2 - c^2) = ab^2 - ac^2$

$b(c^2 - a^2) = bc^2 - ba^2$

$c(a^2 - b^2) = ca^2 - cb^2$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

項を整理します。

$ab^2 - a^2b - ac^2 + a^2c + bc^2 - b^2c$

この式を因数分解することを試みます。

$ab(b - a) - c^2(a - b) + c(b+a)(a-b)$

$ab(b - a) + c^2(b - a) - c(a+b)(b-a)$

$(b-a)[ab + c^2 - ac - bc]$

$(b-a)[a(b-c) - c(b-c)]$

$(b-a)(a-c)(b-c)$

$-(a-b)(a-c)(b-c)$

$-(a-b)(ac-bc-a^2+ab)$

$(a-b)(b-c)(a-c) = (a-b)(ac-bc-a^2+ab)$

$= (a-b)(-(a^2 - ac - ab + bc))$

$= (a-b)(b-a)(c-a)$

$= -(a-b)(a-b)(a-c)$

$(a-b)(b-c)(a-c)$ のように、循環的な順序で表現されるように並べ替えます。

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(a-c)$