$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ のとき、$\log_{10} 54$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ のとき、$\log_{10} 54$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\log_{10} 54$ を $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ で表せるように変形する。

まず、54 を素因数分解する。

$54 = 2 \times 27 = 2 \times 3^3$

したがって、

$\log_{10} 54 = \log_{10} (2 \times 3^3)$

対数の性質 $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ より、

$\log_{10} (2 \times 3^3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3^3$

対数の性質 $\log_a x^n = n \log_a x$ より、

$\log_{10} 3^3 = 3 \log_{10} 3$

したがって、

$\log_{10} 54 = \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3$

$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10} 54 = 0.3010 + 3 \times 0.4771$

$= 0.3010 + 1.4313$

$= 1.7323$

3. 最終的な答え

$\log_{10} 54 = 1.7323$