(1) 放物線 $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 - 2$ の頂点が第2象限にあるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) 放物線 $y = x^2 + ax - 2$ の頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 - 2$ の頂点が第2象限にあるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 放物線 $y = x^2 + ax - 2$ の頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線の式を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 - 2$

$y = (x - (a+1))^2 - (a+1)^2 + a^2 - 2$

$y = (x - (a+1))^2 - (a^2 + 2a + 1) + a^2 - 2$

$y = (x - (a+1))^2 - 2a - 3$

頂点の座標は $(a+1, -2a - 3)$ となる。

頂点が第2象限にあるためには、

$x$ 座標が負で、$y$ 座標が正である必要がある。

したがって、

$a + 1 < 0$ かつ $-2a - 3 > 0$ を満たす必要がある。

$a < -1$ かつ $-2a > 3$

$a < -1$ かつ $a < -\frac{3}{2}$

よって、$a < -\frac{3}{2}$

(2) まず、放物線の式を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 + ax - 2$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 - 2$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - 2$

頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} - 2)$ となる。

頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるので、

$-\frac{a^2}{4} - 2 = 2(-\frac{a}{2}) - 1$

$-\frac{a^2}{4} - 2 = -a - 1$

両辺に4を掛けて、

$-a^2 - 8 = -4a - 4$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

$(a - 2)^2 = 0$

$a = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a < -\frac{3}{2}$

(2) $a = 2$