与えられた不等式 $|x-4| \le 2x+1$ を解け。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x-4| \le 2x+1$ を解け。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、絶対値の中身の符号によって場合分けして考える。

(i) $x-4 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge 4$ のとき、

$|x-4| = x-4$ なので、不等式は

$x-4 \le 2x+1$

$-x \le 5$

$x \ge -5$

$x \ge 4$ という条件との共通範囲を考えると、$x \ge 4$。

(ii) $x-4 < 0$ のとき、つまり $x < 4$ のとき、

$|x-4| = -(x-4) = -x+4$ なので、不等式は

$-x+4 \le 2x+1$

$-3x \le -3$

$x \ge 1$

$x < 4$ という条件との共通範囲を考えると、$1 \le x < 4$。

(i), (ii) を合わせて、$x \ge 4$ または $1 \le x < 4$ となるので、

$x \ge 1$

また、$2x+1 \ge 0$ でなければならないので、$x \ge -\frac{1}{2}$。

これを考慮すると、$x \ge 1$ が解となる。

3. 最終的な答え

$x \ge 1$