長方形ABCDがあり、その内部に点Eがある。$\angle BAE = 45^\circ$である。長方形ABCDの面積は80 cm$^2$、$\triangle ABE$の面積は10 cm$^2$、$\triangle AED$の面積は16 cm$^2$である。$\triangle DEC$の面積と辺ABの長さを求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、その内部に点Eがある。$\angle BAE = 45^\circ$である。長方形ABCDの面積は80 cm$^2$、$\triangle ABE$の面積は10 cm$^2$、$\triangle AED$の面積は16 cm$^2$である。$\triangle DEC$の面積と辺ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DEC$の面積を求める。

長方形ABCDの面積は、$\triangle ABE$, $\triangle AED$, $\triangle DEC$, $\triangle BCE$ の面積の和に等しい。

したがって、

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\text{長方形ABCDの面積} = \triangle ABE + \triangle AED + \triangle DEC + \triangle BCE

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$\triangle BCE$の面積を求める必要がある。長方形の面積から他の3つの三角形の面積を引くことによって計算できる。

長方形ABCDの面積は 80 cm$^2$。$\triangle ABE$の面積は 10 cm$^2$。$\triangle AED$の面積は 16 cm$^2$。

したがって、

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\triangle BCE = \text{長方形ABCDの面積} - \triangle ABE - \triangle AED - \triangle DEC

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\triangle BCE = 80 - 10 - 16 - \triangle DEC

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\triangle BCE = 54 - \triangle DEC

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ここで、$\triangle DEC$の面積を $x$ とすると、$\triangle BCE = 54 - x$ となる。

また、$\triangle ABE$と$\triangle BCE$の面積の和は、長方形の面積の半分である。同様に、$\triangle AED$と$\triangle DEC$の面積の和も長方形の面積の半分である。

したがって、$10 + (54 - x) = 40$ と $16 + x = 40$ が成り立つ。

$16 + x = 40$ より、$x = 40 - 16 = 24$

$\triangle DEC$ の面積は 24 cm$^2$

(2) 辺ABの長さを求める。

$\triangle ABE$の面積は10 cm$^2$で、$\angle BAE = 45^\circ$ である。

$\triangle AED$ の面積は 16 cm$^2$。$\triangle DEC$ の面積は 24 cm$^2$。

$AE$ の長さを $a$, $AB$ の長さを $h$ とすると、$\triangle ABE = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AB \cdot \sin(\angle BAE) = \frac{1}{2} a h \sin(45^\circ) = 10$

$\frac{1}{2} a h \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$

$ah = 20 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$

また、長方形ABCDの面積は $AB \cdot AD = 80$ である。

$AD = \frac{80}{h}$

$\triangle AED$の面積は 16 cm$^2$ で、$\triangle DEC$の面積は 24 cm$^2$ であるから、$AD \cdot h / 2$ を基準に考える。

三角形の高さの比は、ADを底辺としたときの高さの比に等しく、面積比に等しい。

したがって、EからADまでの距離と、EからBCまでの距離の比は 16:24 = 2:3 である。

AD = BC より、EからADまでの距離 + EからBCまでの距離 = AB の長さ

比から、EからADまでの距離 = $\frac{2}{5} AB$、EからBCまでの距離 = $\frac{3}{5} AB$

$\triangle AED = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{2}{5} AB = 16$ より、$AD \cdot AB = 80$

$\frac{1}{5} AB \cdot AD = 16 \implies AD \cdot AB = 400$

これは長方形ABCDの面積が80 cm$^2$であることと矛盾する。

$AB=x$, $AD=y$ とすると、$xy=80$

$\triangle ABE = \frac{1}{2} x AE \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{4} x AE = 10$

$AE = \frac{40}{\sqrt{2} x} = \frac{20\sqrt{2}}{x}$

$\triangle ADE = \frac{1}{2} y DE \sin \angle ADE = 16$

$AB = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ と推測。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DEC$の面積: 24 cm$^2$

(2) 辺ABの長さ: $2\sqrt{10}$ cm