四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$である。三角形BCDの重心をGとし、線分AGを4:3に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$である。三角形BCDの重心をGとし、線分AGを4:3に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求める。

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

次に、線分AGを4:3に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求める。内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{g}}{4 + 3} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{g}}{7}$

$\vec{g}$の式を代入する。

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{7}$

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b} + \frac{4}{3}\vec{c} + \frac{4}{3}\vec{d}}{7}$

$\vec{p} = \frac{1}{7}(3\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b} + \frac{4}{3}\vec{c} + \frac{4}{3}\vec{d})$

$\vec{p} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b} + \frac{4}{21}\vec{c} + \frac{4}{21}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b} + \frac{4}{21}\vec{c} + \frac{4}{21}\vec{d}$