四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABCの重心をGとし、線分DGを3:2に外分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABCの重心をGとし、線分DGを3:2に外分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。

重心の位置ベクトルは各頂点の位置ベクトルの平均なので、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

次に、線分DGを3:2に外分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。

外分の公式より、

$\vec{p} = \frac{-2\vec{d} + 3\vec{g}}{3-2} = -2\vec{d} + 3\vec{g}$

$\vec{g}$を代入すると、

$\vec{p} = -2\vec{d} + 3\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right)$

$\vec{p} = -2\vec{d} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{d}$