四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられている。三角形BCDの重心Gの位置ベクトルを$\vec{g}$とし、線分AGを2:1に内分する点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$とする。このとき、$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表す問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられている。三角形BCDの重心Gの位置ベクトルを$\vec{g}$とし、線分AGを2:1に内分する点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$とする。このとき、$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。重心は各頂点の位置ベクトルの平均であるから、

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

次に、線分AGを2:1に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{g}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{g}}{3}$

$\vec{g}$の表式を代入して、

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 2 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{3} = \frac{\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{d}}{3}$

これを整理すると、

$\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c} + \frac{2}{9}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c} + \frac{2}{9}\vec{d}$

選択肢の中では、3が正解です。