$\triangle OAB$ において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。原点 $O$ を通り直線 $AB$ に垂直な直線のベクトル方程式を求める問題。ただし、位置ベクトルの基準は $O$、直線上の動点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$、 $t$ を媒介変数とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。原点 $O$ を通り直線 $AB$ に垂直な直線のベクトル方程式を求める問題。ただし、位置ベクトルの基準は $O$、直線上の動点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$、 $t$ を媒介変数とする。

2. 解き方の手順

直線 $AB$ に垂直な直線上の点 $P$ の位置ベクトル $\vec{p}$ について考える。$\vec{OP} = \vec{p}$ である。

$AB$ の方向ベクトルは $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$ である。

$OP$ は $AB$ に垂直なので、$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = 0$ である。

よって、$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$。

これは $\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ とも書ける。

3. 最終的な答え

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