三角形ABCにおいて、重心をG、辺ABの中点をP、辺ACを3:2に内分する点をQ、辺BCを3:2に外分する点をRとするとき、G, P, Q, Rのうち、一直線上にないものはどれか。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、重心をG、辺ABの中点をP、辺ACを3:2に内分する点をQ、辺BCを3:2に外分する点をRとするとき、G, P, Q, Rのうち、一直線上にないものはどれか。

2. 解き方の手順

この問題はベクトルを用いて解くのが一般的です。点Aを始点として、各点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表し、$\vec{AP}, \vec{AQ}, \vec{AG}, \vec{AR}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表します。

* 点Pは辺ABの中点なので、$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{b}$

* 点Qは辺ACを3:2に内分するので、$\vec{AQ} = \frac{3}{5}\vec{c}$

* 点Gは三角形ABCの重心なので、$\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$

* 点Rは辺BCを3:2に外分するので、$\vec{AR} = \frac{-2\vec{b} + 3\vec{c}}{3-2} = -2\vec{b} + 3\vec{c}$

ここで、P, G, Qが一直線上にあるかどうかを調べます。実数$k, l$を用いて、$\vec{AG} = k\vec{AP} + l\vec{AQ}$となるかどうかを調べます。

$\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}) = k\frac{1}{2}\vec{b} + l\frac{3}{5}\vec{c}$

$\frac{1}{3} = \frac{k}{2}$, $\frac{1}{3} = \frac{3l}{5}$

$k = \frac{2}{3}$, $l = \frac{5}{9}$

$k+l = \frac{2}{3} + \frac{5}{9} = \frac{6+5}{9} = \frac{11}{9} \ne 1$ なので、P, G, Qは一直線上にありません。

次に、P, Q, Rが一直線上にあるかを調べます。

$\vec{AR} = s\vec{AP} + t\vec{AQ}$

$-2\vec{b}+3\vec{c} = s\frac{1}{2}\vec{b} + t\frac{3}{5}\vec{c}$

$-2 = \frac{s}{2}$, $3 = \frac{3t}{5}$

$s=-4, t=5$

$s+t=-4+5=1$なので、P, Q, Rは一直線上にある。

したがって、GがP,Q,Rと一直線上にない。

3. 最終的な答え

5