四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$で与えられている。三角形ACDの重心をGとし、線分BGを4:3に外分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$で与えられている。三角形ACDの重心をGとし、線分BGを4:3に外分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形ACDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求める。重心は各頂点の位置ベクトルの平均であるから、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

次に、点Pが線分BGを4:3に外分するという条件から、$\vec{p}$を$\vec{b}$と$\vec{g}$を用いて表す。外分の公式より、

$\vec{p} = \frac{-3\vec{b} + 4\vec{g}}{4-3} = -3\vec{b} + 4\vec{g}$

$\vec{g}$を代入する：

$\vec{p} = -3\vec{b} + 4 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3} = -3\vec{b} + \frac{4}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{c} + \frac{4}{3}\vec{d}$

整理すると

$\vec{p} = \frac{4}{3}\vec{a} - 3\vec{b} + \frac{4}{3}\vec{c} + \frac{4}{3}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{4}{3}\vec{a} - 3\vec{b} + \frac{4}{3}\vec{c} + \frac{4}{3}\vec{d}$

選択肢４が正しい。