四面体ABCDにおいて、頂点をそれぞれA($\vec{a}$)、B($\vec{b}$)、C($\vec{c}$)、D($\vec{d}$)とする。三角形ABDの重心をG($\vec{g}$)とし、線分CGを3:4に外分する点をP($\vec{p}$)とする。$\vec{p}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$で表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点をそれぞれA($\vec{a}$)、B($\vec{b}$)、C($\vec{c}$)、D($\vec{d}$)とする。三角形ABDの重心をG($\vec{g}$)とし、線分CGを3:4に外分する点をP($\vec{p}$)とする。$\vec{p}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDの重心G($\vec{g}$)を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{d}$で表す。

重心の公式より、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$

次に、線分CGを3:4に外分する点P($\vec{p}$)を$\vec{c}$と$\vec{g}$で表す。

外分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{-4\vec{c} + 3\vec{g}}{3-4} = \frac{-4\vec{c} + 3\vec{g}}{-1} = 4\vec{c} - 3\vec{g}$

$\vec{g}$を代入する。

$\vec{p} = 4\vec{c} - 3(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}) = 4\vec{c} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}) = -\vec{a} - \vec{b} + 4\vec{c} - \vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = -\vec{a} - \vec{b} + 4\vec{c} - \vec{d}$

したがって、選択肢4が正解。