四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABDの重心をGとし、線分CGを2:5に内分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABDの重心をGとし、線分CGを2:5に内分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$で表す。

重心の公式より、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$

次に、線分CGを2:5に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{c}, \vec{g}$で表す。

内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{g}}{2+5} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{g}}{7}$

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$を代入する。

$\vec{p} = \frac{5\vec{c} + 2(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3})}{7}$

$\vec{p} = \frac{5\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}}{7}$

$\vec{p} = \frac{1}{7}(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + 5\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{d})$

$\vec{p} = \frac{2}{21}\vec{a} + \frac{2}{21}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} + \frac{2}{21}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{2}{21}\vec{a} + \frac{2}{21}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} + \frac{2}{21}\vec{d}$

選択肢の2が正しいです。