四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられています。三角形ABCの重心Gの位置ベクトルを$\vec{g}$とし、線分DGを1:4に内分する点をPとしたとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられています。三角形ABCの重心Gの位置ベクトルを$\vec{g}$とし、線分DGを1:4に内分する点をPとしたとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。重心の公式より、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

次に、線分DGを1:4に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{4\vec{d} + 1\vec{g}}{1 + 4} = \frac{4\vec{d} + \vec{g}}{5}$

$\vec{g}$を$\vec{p}$の式に代入します。

$\vec{p} = \frac{4\vec{d} + \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}}{5} = \frac{\frac{12\vec{d} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}}{5} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + 12\vec{d}}{15}$

$\vec{p} = \frac{1}{15}\vec{a} + \frac{1}{15}\vec{b} + \frac{1}{15}\vec{c} + \frac{12}{15}\vec{d}$

$\vec{p} = \frac{1}{15}\vec{a} + \frac{1}{15}\vec{b} + \frac{1}{15}\vec{c} + \frac{4}{5}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{1}{15}\vec{a} + \frac{1}{15}\vec{b} + \frac{1}{15}\vec{c} + \frac{4}{5}\vec{d}$