与えられた分数式の和を計算する問題です。 与えられた式は次の通りです。 $\frac{x+5}{x^2-2x-3} + \frac{1}{x^2+3x+2}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算する問題です。

与えられた式は次の通りです。

$\frac{x+5}{x^2-2x-3} + \frac{1}{x^2+3x+2}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{x+5}{(x-3)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

次に、共通の分母を見つけます。共通の分母は $(x-3)(x+1)(x+2)$ です。

それぞれの分数を共通の分母で書き換えます。

$\frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)(x+1)(x+2)} + \frac{(x-3)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を足し合わせます。

$\frac{(x+5)(x+2) + (x-3)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を展開し、整理します。

$\frac{x^2 + 2x + 5x + 10 + x - 3}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

$\frac{x^2 + 8x + 7}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$x^2 + 8x + 7 = (x+1)(x+7)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

$x+1$ で約分します。

$\frac{x+7}{(x-3)(x+2)}$

分母を展開します。

$\frac{x+7}{x^2 + 2x - 3x - 6}$

$\frac{x+7}{x^2 - x - 6}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+7}{x^2 - x - 6}$