$a$は整数であり、2次方程式 $x^2 + (2a+1)x + 2a^2 + 3a - 2 = 0$ の解が実数であるとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は整数であり、2次方程式 $x^2 + (2a+1)x + 2a^2 + 3a - 2 = 0$ の解が実数であるとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解が実数であるためには、判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たす必要があります。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題では、$a = 1$, $b = 2a+1$, $c = 2a^2+3a-2$ なので、

$D = (2a+1)^2 - 4(1)(2a^2+3a-2)$

$= 4a^2 + 4a + 1 - 8a^2 - 12a + 8$

$= -4a^2 - 8a + 9$

解が実数であるためには、$D \geq 0$ である必要があるので、

$-4a^2 - 8a + 9 \geq 0$

$4a^2 + 8a - 9 \leq 0$

$a^2 + 2a - \frac{9}{4} \leq 0$

$a^2 + 2a + 1 \leq \frac{9}{4} + 1$

$(a+1)^2 \leq \frac{13}{4}$

$-\frac{\sqrt{13}}{2} \leq a+1 \leq \frac{\sqrt{13}}{2}$

$-\frac{\sqrt{13}}{2} - 1 \leq a \leq \frac{\sqrt{13}}{2} - 1$

$\sqrt{13}$ は3と4の間なので、$\sqrt{13} \approx 3.6$ と近似すると、

$-\frac{3.6}{2} - 1 \leq a \leq \frac{3.6}{2} - 1$

$-1.8 - 1 \leq a \leq 1.8 - 1$

$-2.8 \leq a \leq 0.8$

$a$は整数なので、$a = -2, -1, 0$

3. 最終的な答え

$a = -2, -1, 0$