(1) 放物線 $y = 3x^2$ を平行移動したもので、2点 A(-2, 0), B(1, 0) を通る放物線の方程式を求める。 (2) 2点 A(0, 3), B(5, 8) を通り、頂点が直線 $y = -x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 3x^2$ を平行移動したもので、2点 A(-2, 0), B(1, 0) を通る放物線の方程式を求める。

(2) 2点 A(0, 3), B(5, 8) を通り、頂点が直線 $y = -x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = 3x^2$ を平行移動したものは、$y = 3(x - p)^2 + q$ と表せる。

これが A(-2, 0), B(1, 0) を通るので、

A を代入すると、$0 = 3(-2 - p)^2 + q$

B を代入すると、$0 = 3(1 - p)^2 + q$

よって、$3(-2 - p)^2 + q = 3(1 - p)^2 + q$

$3(-2 - p)^2 = 3(1 - p)^2$

$(-2 - p)^2 = (1 - p)^2$

$4 + 4p + p^2 = 1 - 2p + p^2$

$6p = -3$

$p = -\frac{1}{2}$

これを $0 = 3(1 - p)^2 + q$ に代入すると、$0 = 3(1 + \frac{1}{2})^2 + q$

$0 = 3(\frac{3}{2})^2 + q$

$q = -3 \cdot \frac{9}{4} = -\frac{27}{4}$

よって、$y = 3(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

$y = 3(x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{27}{4}$

$y = 3x^2 + 3x + \frac{3}{4} - \frac{27}{4}$

$y = 3x^2 + 3x - \frac{24}{4}$

$y = 3x^2 + 3x - 6$

(2)

頂点が $y = -x + 1$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, -p + 1)$ とすると、

放物線の方程式は $y = a(x - p)^2 - p + 1$ と表せる。

これが A(0, 3), B(5, 8) を通るので、

A を代入すると、$3 = a(0 - p)^2 - p + 1$

$3 = ap^2 - p + 1$

$ap^2 - p = 2$ (1)

B を代入すると、$8 = a(5 - p)^2 - p + 1$

$8 = a(25 - 10p + p^2) - p + 1$

$a(25 - 10p + p^2) - p = 7$ (2)

(2) - (1) * 25 より、$a(25 - 10p + p^2) - 25ap^2 - p + 25p = 7 - 50$

$25a - 10ap + ap^2 - 25ap^2 + 24p = -43$

$25a - 10ap - 24ap^2 + 24p = -43$

(1) より $ap^2 = p + 2$ を代入すると、$25a - 10ap - 24(p + 2) + 24p = -43$

$25a - 10ap - 24p - 48 + 24p = -43$

$25a - 10ap = 5$

$5a - 2ap = 1$

$a(5 - 2p) = 1$

$a = \frac{1}{5 - 2p}$

これを (1) に代入すると、$\frac{1}{5 - 2p} \cdot p^2 - p = 2$

$p^2 - p(5 - 2p) = 2(5 - 2p)$

$p^2 - 5p + 2p^2 = 10 - 4p$

$3p^2 - p - 10 = 0$

$(3p + 5)(p - 2) = 0$

$p = -\frac{5}{3}, 2$

$p = -\frac{5}{3}$ のとき、$a = \frac{1}{5 - 2 \cdot (-\frac{5}{3})} = \frac{1}{5 + \frac{10}{3}} = \frac{1}{\frac{25}{3}} = \frac{3}{25}$

$p = 2$ のとき、$a = \frac{1}{5 - 2 \cdot 2} = \frac{1}{5 - 4} = 1$

$p = -\frac{5}{3}$ のとき、$y = \frac{3}{25}(x + \frac{5}{3})^2 + \frac{5}{3} + 1$

$y = \frac{3}{25}(x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9}) + \frac{8}{3}$

$y = \frac{3}{25}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{1}{3} + \frac{8}{3}$

$y = \frac{3}{25}x^2 + \frac{2}{5}x + 3$

$p = 2$ のとき、$y = (x - 2)^2 - 2 + 1$

$y = x^2 - 4x + 4 - 1$

$y = x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 3x - 6$

(2) $y = x^2 - 4x + 3$, $y = \frac{3}{25}x^2 + \frac{2}{5}x + 3$