$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、 $\sin^2 \theta + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1$ $\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ $\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた三角関数の値から、他の三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問題があります。

* **問題9-(2)**: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ であるときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

* **問題9-(3)**: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -2\sqrt{6}$ であるときの $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

#### 問題9-(2)

1. 三角関数の相互関係の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ であるから、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となる。

3. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の公式を利用して、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$

#### 問題9-(3)

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = -2\sqrt{6} \cos \theta$

2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(-2\sqrt{6}\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$24\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$25\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{5}$

3. $\tan \theta = -2\sqrt{6} < 0$ であるから、$\theta$ は鋭角ではなく、第2象限の角である。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\cos \theta < 0$ なので $\cos \theta = -\frac{1}{5}$。

4. $\sin \theta = -2\sqrt{6} \cos \theta$ に代入すると、

$\sin \theta = -2\sqrt{6} \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

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3. 最終的な答え

* **問題9-(2)**:

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = 2\sqrt{2}$

* **問題9-(3)**:

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\cos \theta = -\frac{1}{5}$