数列 $\{a_n\}$ が $1, 6, 13, 22, 33, \dots$ で与えられている。この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とするとき、$b_n = \boxed{ア}n + \boxed{イ}$ および $a_n = n^2 + \boxed{ウ}n - \boxed{エ}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 6, 13, 22, 33, \dots$ で与えられている。この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とするとき、$b_n = \boxed{ア}n + \boxed{イ}$ および $a_n = n^2 + \boxed{ウ}n - \boxed{エ}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、階差数列$\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$

$b_2 = a_3 - a_2 = 13 - 6 = 7$

$b_3 = a_4 - a_3 = 22 - 13 = 9$

$b_4 = a_5 - a_4 = 33 - 22 = 11$

よって、階差数列は $5, 7, 9, 11, \dots$ となります。これは初項5、公差2の等差数列なので、$b_n = 5 + (n-1)2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$ となります。

したがって、$b_n = 2n + 3$ なので、ア=2、イ=3 です。

次に、$a_n$ を求めます。$a_n$ は階差数列を使って次のように表せます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + 3\sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 1 + n(n-1) + 3n - 3 = 1 + n^2 - n + 3n - 3 = n^2 + 2n - 2$

したがって、$a_n = n^2 + 2n - 2$ なので、ウ=2、エ=2 です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 2

エ: 2