与えられた数列 $\{a_n\}$ が $2, 5, 11, 23, 47, \dots$ であるとき、一般項 $a_n$ を $a_n = \text{オ} \cdot \text{カ}^{n-1} - \text{キ}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ が $2, 5, 11, 23, 47, \dots$ であるとき、一般項 $a_n$ を $a_n = \text{オ} \cdot \text{カ}^{n-1} - \text{キ}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ とすると、

$b_1 = 5 - 2 = 3$

$b_2 = 11 - 5 = 6$

$b_3 = 23 - 11 = 12$

$b_4 = 47 - 23 = 24$

となります。

階差数列 $\{b_n\}$ は $3, 6, 12, 24, \dots$ であり、これは初項 3, 公比 2 の等比数列です。

したがって、$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

次に、一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ （$n \ge 2$）

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、

$a_n = 2 + 3(2^{n-1} - 1) = 2 + 3 \cdot 2^{n-1} - 3 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ となり、$a_1$ にも適合します。

したがって、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

オ = 3

カ = 2

キ = 1