A地とB地は1200m離れており、その間にP地がある。兄は分速160mでA地へ、弟は分速80mでB地へ向かう。それぞれ目的地に着いたら折り返す。兄と弟が同時に出発してから$x$分後の二人の間の距離を$y$mとする。 (1) $0 \leqq x \leqq 4$における図2のグラフの式を求める。 (2) P地からB地までの距離を求める。 (3) 兄がA地に着いてから、兄と弟が出会うまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙のグラフに続けて書く。 (4) 兄と弟の間の距離が360mになるのは2回ある。2回目に360mになるのは、最初に360mになってから何分後か求める。

1. 問題の内容

A地とB地は1200m離れており、その間にP地がある。兄は分速160mでA地へ、弟は分速80mでB地へ向かう。それぞれ目的地に着いたら折り返す。兄と弟が同時に出発してから$x$分後の二人の間の距離を$y$mとする。

(1) $0 \leqq x \leqq 4$における図2のグラフの式を求める。

(2) P地からB地までの距離を求める。

(3) 兄がA地に着いてから、兄と弟が出会うまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙のグラフに続けて書く。

(4) 兄と弟の間の距離が360mになるのは2回ある。2回目に360mになるのは、最初に360mになってから何分後か求める。

2. 解き方の手順

(1)

図2のグラフは原点を通る直線である。

$x=4$のとき、$y=960$なので、$y=ax$に代入すると、

$960 = a \times 4$

$a = \frac{960}{4} = 240$

よって、$y=240x$

(2)

兄がA地に着くまでにかかる時間は、$\frac{AP}{160}=4$分なので、$AP=160 \times 4 = 640$mである。

$AP + PB = 1200$mなので、$PB = 1200 - 640 = 560$m

(3)

兄がA地に着いた後の状況を考える。

兄はA地に着いてすぐに折り返すので、A地を出発した時点を考える。

兄の速さは分速160m、弟の速さは分速80mである。

兄がA地に着いたのは4分後であり、その時の弟の位置はP地から$80 \times 4 = 320$m離れた地点である。

兄と弟の間の距離は$y$である。

兄はB地に向かい、弟もB地に向かうので、二人の間の距離は縮まっていく。

$y = | (640 + 160(x-4)) - (320 + 80(x-4)) | = |320 + 80(x-4)| = |320 + 80x - 320| = 80x$

二人が出会うのは、$y=0$となるときなので、$80x = 0$から$x=0$となる。これは出発点を表しているので、出会うのは4分後以降となる。

兄がA地に着いてから二人が出会うまで、$160x + 80x = 1200$を解けばよい。

$240x = 1200$なので、$x = 5$分。

兄がA地に着いてから出会うまでの時間は、1分である。

$y = 0$となるのは、兄が出発してから5分後なので、$x=5$のとき$y=0$となる。

よって、グラフは$(4, 960)$から$(5, 0)$へ向かう直線となる。

(4)

1回目は、$y=240x = 360$のときなので、$x = \frac{360}{240} = \frac{3}{2} = 1.5$分。

2回目に360mになるのは、兄がA地に着いてからの時間なので、$80(x-4) = 360$より、$x-4 = \frac{360}{80} = \frac{9}{2}=4.5$なので、$x = 8.5$分

$8.5 - 1.5 = 7$分

3. 最終的な答え

(1) $y = 240x$

(2) 560m

(3) (4, 960)から(5, 0)への直線（グラフの図示は省略）

(4) 7分後