与えられた繁分数式を簡略化する問題です。問題の式は以下です。 $1 - \frac{\frac{1}{a} - \frac{2}{a+1}}{\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1}}$

1. 問題の内容

与えられた繁分数式を簡略化する問題です。問題の式は以下です。

$1 - \frac{\frac{1}{a} - \frac{2}{a+1}}{\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子:

$\frac{1}{a} - \frac{2}{a+1} = \frac{(a+1) - 2a}{a(a+1)} = \frac{a+1-2a}{a(a+1)} = \frac{1-a}{a(a+1)}$

分母:

$\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1} = \frac{(a-1) - 2a}{a(a-1)} = \frac{a-1-2a}{a(a-1)} = \frac{-a-1}{a(a-1)} = \frac{-(a+1)}{a(a-1)}$

次に、元の式に代入します。

$1 - \frac{\frac{1-a}{a(a+1)}}{\frac{-(a+1)}{a(a-1)}} = 1 - \frac{1-a}{a(a+1)} \cdot \frac{a(a-1)}{-(a+1)} = 1 - \frac{(1-a)(a-1)}{-(a+1)(a+1)}$

ここで、$1-a = -(a-1)$ であることを利用します。

$1 - \frac{-(a-1)(a-1)}{-(a+1)^2} = 1 - \frac{(a-1)^2}{(a+1)^2} = 1 - \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 + 2a + 1}$

通分して計算します。

$\frac{a^2 + 2a + 1 - (a^2 - 2a + 1)}{a^2 + 2a + 1} = \frac{a^2 + 2a + 1 - a^2 + 2a - 1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{4a}{a^2 + 2a + 1} = \frac{4a}{(a+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4a}{(a+1)^2}$