与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下です。 $1 - \frac{1 - \frac{1}{a} - \frac{2}{a+1}}{\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下です。

$1 - \frac{1 - \frac{1}{a} - \frac{2}{a+1}}{\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1}}$

2. 解き方の手順

まず、分母と分子をそれぞれ計算します。

分子:

$1 - \frac{1}{a} - \frac{2}{a+1} = \frac{a(a+1) - (a+1) - 2a}{a(a+1)} = \frac{a^2 + a - a - 1 - 2a}{a(a+1)} = \frac{a^2 - 2a - 1}{a(a+1)}$

分母:

$\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1} = \frac{(a-1) - 2a}{a(a-1)} = \frac{a - 1 - 2a}{a(a-1)} = \frac{-a - 1}{a(a-1)}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$1 - \frac{\frac{a^2 - 2a - 1}{a(a+1)}}{\frac{-a - 1}{a(a-1)}} = 1 - \frac{a^2 - 2a - 1}{a(a+1)} \cdot \frac{a(a-1)}{-(a+1)} = 1 + \frac{(a^2 - 2a - 1)(a-1)}{(a+1)^2 a} \cdot a$

$= 1 + \frac{(a^2 - 2a - 1)(a-1)}{-(a+1)^2} = 1 - \frac{a^3 - a^2 - 2a^2 + 2a - a + 1}{a^2 + 2a + 1} = 1 - \frac{a^3 - 3a^2 + a + 1}{a^2 + 2a + 1}$

しかし、画像にある計算では、分子と分母に $a(a-1)(a+1)$ を掛けて計算しています。この方法で計算してみましょう。

$1 - \frac{1 - \frac{1}{a} - \frac{2}{a+1}}{\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1}} = 1 - \frac{a(a-1)(a+1)(1 - \frac{1}{a} - \frac{2}{a+1})}{a(a-1)(a+1)(\frac{1}{a} - \frac{2}{a-1})} = 1 - \frac{(a-1)(a+1) - (a+1) - 2a(a-1)}{(a-1)(a+1) - 2a(a+1)} = 1 - \frac{a^2 - 1 - a - 1 - 2a^2 + 2a}{a^2 - 1 - 2a^2 - 2a} = 1 - \frac{-a^2 + a - 2}{-a^2 - 2a - 1} = 1 - \frac{a^2 - a + 2}{a^2 + 2a + 1}$

$= \frac{a^2 + 2a + 1 - (a^2 - a + 2)}{a^2 + 2a + 1} = \frac{a^2 + 2a + 1 - a^2 + a - 2}{a^2 + 2a + 1} = \frac{3a - 1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{3a-1}{(a+1)^2}$

画像にある計算は、分子が $a^2 - 2a - 1$ 、分母が $a^2 + 2a + 1$ になっています。また、

$1 - \frac{-a^2 - 2a - 1}{-a^2 - 2a - 1} = 1-1 = 0$ となっています。

問題の修正：

$1 - \frac{\frac{(a-1)(a+1) - (a+1) -2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)}}{\frac{(a-1)(a+1) - 2a(a+1)}{a(a-1)(a+1)}} = 1 - \frac{a^2-1-a-1-2a^2+2a}{a^2-1-2a^2-2a} = 1- \frac{-a^2+a-2}{-a^2-2a-1} = 1 - \frac{a^2-a+2}{a^2+2a+1} = \frac{a^2+2a+1 - (a^2-a+2)}{a^2+2a+1} = \frac{3a-1}{(a+1)^2}$.

3. 最終的な答え

$\frac{3a-1}{(a+1)^2}$