与えられた3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立かどうかを答え、理由を述べる。 (2) $\vec{a}$ の張る空間 $L(\vec{a})$ は選択肢のどれになるか。 (3) $\vec{a}, \vec{b}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b})$ は選択肢のどれになるか。 (4) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ は選択肢のどれになるか。

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立かどうかを答え、理由を述べる。

(2) $\vec{a}$ の張る空間 $L(\vec{a})$ は選択肢のどれになるか。

(3) $\vec{a}, \vec{b}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b})$ は選択肢のどれになるか。

(4) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ は選択肢のどれになるか。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立かどうかを調べるには、

$k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} + k_3 \vec{c} = \vec{0}$

となる $k_1, k_2, k_3$ が $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ のみであるかを確認する。

$k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この式は以下の連立一次方程式に変換できる。

$k_1 + k_2 + k_3 = 0$

$k_2 + 3k_3 = 0$

$k_1 + k_2 + k_3 = 0$

2つ目の方程式から $k_2 = -3k_3$

これを1つ目の方程式に代入すると $k_1 - 3k_3 + k_3 = 0 \Rightarrow k_1 = 2k_3$

したがって、例えば $k_3 = 1$ とすると、 $k_1 = 2$ かつ $k_2 = -3$ となり、

$2 \vec{a} - 3 \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

となるため、 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は線形独立ではない。

(2) $\vec{a}$ の張る空間 $L(\vec{a})$ は、原点を通る直線である。なぜなら、$L(\vec{a}) = \{k\vec{a} \mid k \in \mathbb{R}\}$ であり、これは原点を通る直線を意味する。

(3) $\vec{a}, \vec{b}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b})$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、原点を通る平面となる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるか確認する。

$k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} = 0$

$k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$k_1 + k_2 = 0$

$k_2 = 0$

$k_1 + k_2 = 0$

よって、$k_1 = 0$ となり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は線形独立である。したがって、$L(\vec{a}, \vec{b})$ は原点を通る平面である。

(4) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ は、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立でないため、$L(\vec{a}, \vec{b})$と等しく、原点を通る平面となる。

実際、$c= 3b - 2a$ なので、$\vec{c}$は$\vec{a}$と$\vec{b}$の線形結合で表せる。

したがって、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の張る空間は$\vec{a}, \vec{b}$の張る空間と同じく、原点を通る平面である。

3. 最終的な答え

(1) 線形独立ではない。なぜなら、$2 \vec{a} - 3 \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ となるため。

(2) C

(3) E

(4) E